|
Written by Tomasz Lubiński
|
|
Monday, 18 August 2008 22:39 |
|
There are no translations available.
Po raz pierwszy pojęcie fraktala zostało użyte przez Benoit Mandelbrota w latach 70-tych XX wieku. Po łacinie fractus oznacza podzielny, ułamkowy, cząstkowy. Nazwa ta nie ma ścisłej matematycznej definicji. Oznacza ona obiekty, które mają nietrywialną strukturę w każdej skali oraz są samopodobne - czyli każda ich część przypomina całość. Mandelbrot prowadził badania przy pomocy komputera. Pierwsze obrazy zbioru opublikował w roku 1980.
By zdefiniować zbiór Mandelbrota, zdefinujemy najpierw dla danego punktu p
na płaszczyźnie zespolonej nieskończony ciąg liczb zespolonych z0, z1, z2, ... o wartościach zdefiniowanych następująco:
z0 = 0
zn+1 = zn2 + p
Zbiór Mandelbrota ( ang. Mandelbrot Set) definiujemy jako zbiór liczb zespolonych p takich, że zdefiniowany powyżej ciąg nie dąży do nieskończoności.
A gdzie tutaj wspomniany fraktal? Otóż fraktalem jest brzeg tego zbioru. W praktyce by narysować fraktale oblicza się kolejne przybliżenia zbioru, które oznacza się różnymi kolorami. I tak kolejne przybliżenia zdefiniujemy jako zbiór liczb zespolonych p takich, że:
- 1 przybliżenie: wszystkie punkty
- 2 przybliżenie: |z1| < 2
- 3 przybliżenie: |z1| < 2 oraz |z2| < 2
- 4 przybliżenie: |z1| < 2 oraz |z2| < 2 oraz |z3| < 2
- ...
- n-te przybliżenie: |z1| < 2 oraz |z2| < 2, ... |zn-1| < 2
Zatem funkcję obliczającą z jakim maksymalnym przybliżeniem dany punkt p należy do zbioru Mandelbrota możemy zdefiniować następująco (gdzie maxIter to maksymalne przybliżenie z jakim chcemy wyznaczać zbiór):
przyblizenie(p)
begin
iter := 0;
z := 0;
repeat
iter := iter + 1;
z = z^2 + p;
until (|z| < 2) and (iter < maxIter)
przyblizenie = iter;
end;
Przypomnijmy jeszcze działania na liczbach zespolonych jakie będziemy potrzebować podczas obliczeń. Liczba zespolona z składa się z części rzeczywistej zr oraz części urojonej zi, czyli z = zr + i zi.
Potęgowanie definiujemy następująco:
z2 = (zr2 - zi2) + i(2 zr zi)
Dodawanie definiujemy następująco:
a + b = (ar + br) + i(ai + bi)
Moduł z liczby zespolonej definiujemy następująco:
,
dlatego też w praktyce warunek |z| < 2 zastępuje się równoważną nierównością (zr2 + zi2) < 4. Pozbywamy się tutaj czasochłonnego obliczania pierwiastka kwadratowego.
Dla kolejnych punktów na płaszczyźnie, obliczamy przybliżenia zgodnie z podanym algorytmem i wzorami. Oś X oznacza wartości reczywiste, natomiast os Y wartości urojone. Przedstawiając kolejne przybliżenia na płaszczyźnie (lewy górny róg ma współrzędne -2.0 + -1.25i, dolny prawy róg ma współrzędne 0.5 + 1.25i) i oznaczając je różnymi kolorami otrzymujemy wynik - zbiór Mandelbrota, zwany też czasami ze względu na swój wygląd żukiem Mandelbrota. Na obrazie poniżej kolory kolejnych przybliżeń wyznaczono zgodnie z modelem HSV, ale można też użyć do tego celu odcieni szarości, bądź innego modelu barw.
Dokonując przybliżenia wybranych obszarów możemy otrzymać m.in:
- dolinę słonia (ang. elephant valley) - (lewy górny róg
ma współrzędne 0.25 + -0.05i, dolny prawy róg ma współrzędne 0.35 + 0.05i)
- dolinę konika morskiego (ang. sea horse valley) - (obszar w okolicy punktu
-0.75 + 0.1i), poniżej przybliżenie jednej ze struktur w dolinie konika morskiego
.
|
|
Last Updated on Tuesday, 25 May 2010 22:24 |
algorytm.org 
Algorithms 
