Wpisany przez Tomasz Lubiński,
16 stycznia 2009 21:20
Fraktal Płonący Statek (ang. Burning Ship) został po raz pierwszy opisany w 1992 roku. Jego twórcami są Michael Michelitsch oraz Otto Rössler. By opisać fraktal, zdefiniujemy najpierw dla danego punktu p na płaszczyźnie zespolonej nieskończony ciąg liczb zespolonych z0, z1, z2, ... o wartościach zdefiniowanych następująco:
z_0 = 0\\\\
z_{n+1} = ( | \Re(z_n) | + i | \Im(z_n) | )^2 + p
Widać tutaj podobieństwo do wzoru na ciąg opisujący zbiór Mandelbrota (ang. Mandelbrot Set), różnica polega na tym, że w przypadku Płonącego Statku do potęgi podnoszona jest liczba o wartościach bezwzględnych części rzeczywistej oraz urojonej. Fraktalem jest brzeg zbioru liczb zespolonych p takich, że zdefiniowany powyżej ciąg nie dąży do nieskończoności. W praktyce by narysować fraktale oblicza się kolejne przybliżenia zbioru, które oznacza się różnymi kolorami. I tak kolejne przybliżenia zdefiniujemy jako zbiór liczb zespolonych p takich, że:- 1 przybliżenie: wszystkie punkty
- 2 przybliżenie: |z1| < 2
- 3 przybliżenie: |z1| < 2 oraz |z2| < 2
- 4 przybliżenie: |z1| < 2 oraz |z2| < 2 oraz |z3| < 2
- ...
- n-te przybliżenie: |z1| < 2 oraz |z2| < 2, ... |zn-1| < 2
Zatem funkcję obliczającą z jakim maksymalnym przybliżeniem dany punkt p należy do zbioru Płonącego Statku możemy zdefiniować następująco (gdzie maxIter to maksymalne przybliżenie z jakim chcemy wyznaczać zbiór):
przyblizenie(p)
begin
iter := 0;
z := 0;
repeat
iter := iter + 1;
z = (|zr| + i|zi|)^2 + p;
until (|z| < 2) and (iter < maxIter)
przyblizenie = iter;
end;
Przypomnijmy jeszcze działania na liczbach zespolonych jakie będziemy potrzebować podczas obliczeń. Liczba zespolona z składa się z części rzeczywistej zr oraz części urojonej zi, czyli
z = z_{r} + iz_{i}
Potęgowanie definiujemy następująco:
z^2 = (z_r^2 - z_i^2) + i(2*z_r * z_i)
Dodawanie definiujemy następująco:
a + b = (a_r + b_r) + i(a_i + b_i)
Re(a) oznacza wartość cześci rzeczywistej liczby:
\Re(a) = a_r
Im(a) oznacza wartość cześci urojonej liczby:
\Im(a) = a_i
Moduł z liczby zespolonej definiujemy następująco:
|z|=\sqrt{z_{r}^{2}+z_{i}^{2}}
dlatego też w praktyce warunek |z| < 2 zastępuje się równoważną nierównością
z_{r}^{2}+z_{i}^{2} < 4
Pozbywamy się tutaj czasochłonnego obliczania pierwiastka kwadratowego.W funkcji przedstawionej powyżej nie należy mylić modułu z liczby zespolonej z wartością bezwzględną jej części rzeczywistej: |zr| oraz części urojonej |zi|
Dla kolejnych punktów na płaszczyźnie, obliczamy przybliżenia zgodnie z podanym algorytmem i wzorami. Oś X oznacza wartości rzeczywiste, natomiast os Y wartości urojone. Przedstawiając kolejne przybliżenia na płaszczyźnie (lewy górny róg ma współrzędne -1.85 + -0.1i, dolny prawy róg ma współrzędne -1.7 + 0.05i) i oznaczając je kolorem różnej jasności otrzymujemy wynik - Fraktal Płonący Statek. Na obrazie poniżej barwy kolejnych przybliżeń wyznaczono zgodnie z modelem HSV, zmieniając parametr V (jasność) logarytmicznie w zależności od przybliżenia do którego należy dany punkt. Można też użyć do tego celu odcieni szarości, bądź innego modelu barw.
Przykład w JavaScript:
Zaznaczając obszar uzyskasz jego powiększony obraz. Kliknięcie prawym klawiszem (bądź dotknięcie dwoma palcami na urządzeniach z ekranem dotykowym) spowoduje powtórne pokazanie całego zbioru.
Implementacje
| Autor | Język programowania | Komentarz | Otwórz | Pobierz | Ocena |
| Tomasz Lubiński | C# | MS Visual Studio .net | .cs | .cs | ***** / 1 |
| Tomasz Lubiński | C/C++ | Borland Builder 6 | .cpp | .cpp | ***** / 1 |
| Tomasz Lubiński | Delphi/Pascal | Borland Delphi 5 | .pas | .pas | ***** / 1 |
| Tomasz Lubiński | JavaScript | Firefox 3.0+, Safari 3.0+, Chrome 3.0+, Opera 9.5+, IE 9.0+ | .js | .js | ***** / 0 |
Poprawiony: 27 sierpnia 2012 18:37