algorytm.org

Zbiór Julii

Baza Wiedzy
wersja offline serwisu przeznaczona na urządzenia z systemem Android
Darowizny
darowiznaWspomóż rozwój serwisu
Nagłówki RSS
Artykuły
Implementacje
Komentarze
Forum
Bookmarki






Sonda
Implementacji w jakim języku programowania poszukujesz?

Zbiór Julii
Ocena użytkowników:***** / 18
SłabyŚwietny 
Wpisany przez Tomasz Lubiński, 18 sierpnia 2008 22:46

Nazwa zbioru Julii (ang. Julia Set) pochodzi od nazwiska jego odkrywcy - francuskiego matematyka Gastona Julii. By zdefiniować zbiór Julii, zdefiniujemy najpierw dla danej stałej c oraz danego punktu p na płaszczyźnie zespolonej nieskończony ciąg liczb zespolonych z0, z1, z2, ... o wartościach zdefiniowanych następująco:
z_0 = p\\\\ z_{n+1} = z_n^2 + c
Julia zauważył, iż dla pewnych punktów p ciąg ten jest ograniczony - nie dąży do nieskończoności, a dla innych ciąg taki jest nieograniczony - dąży do nieskończoności. Zbiory takich punktów nazywa się odpowiednio zbiorem więźniów - dla ciągów ograniczonych oraz zbiorem uciekinierów - dla ciągów nieograniczonych. Oba te zbiory są niepuste i dopełniające się na płaszczyźnie zespolonej, zatem istnieje tylko ich jedna, wspólna granica. Zbiór Julii definiujemy jako zbiór liczb zespolonych p takich, że zdefiniowany powyżej ciąg nie dąży do nieskończoności, czyli jest to zbiór więźniów.

Brzeg tego zbioru jest fraktalem. Po raz pierwszy pojęcie fraktala zostało użyte przez Benoit Mandelbrota w latach 70-tych XX wieku. Po łacinie fractus oznacza podzielny, ułamkowy, cząstkowy. Nazwa ta nie ma ścisłej matematycznej definicji. Oznacza ona obiekty, które mają nietrywialną strukturę w każdej skali oraz są samopodobne - czyli każda ich część przypomina całość. W praktyce by narysować fraktale oblicza się kolejne przybliżenia zbioru, które oznacza się różnymi kolorami. I tak kolejne przybliżenia zdefiniujemy jako zbiór liczb zespolonych p takich, że:
  • 1 przybliżenie: wszystkie punkty
  • 2 przybliżenie: |z1| < 2
  • 3 przybliżenie: |z1| < 2 oraz |z2| < 2
  • 4 przybliżenie: |z1| < 2 oraz |z2| < 2 oraz |z3| < 2
  • ...
  • n-te przybliżenie: |z1| < 2 oraz |z2| < 2, ... |zn-1| < 2


Zatem funkcję obliczającą w jakim maksymalnym przybliżeniu dany punkt p należy do zbioru Julii dla stałej c możemy zdefiniować następująco (gdzie maxIter to maksymalne przybliżenie z jakim chcemy wyznaczać zbiór):

przyblizenie(p, c)
begin
  iter := 0;
  z := p;

  repeat
     iter := iter + 1;
     z = z^2 + c;
  until (|z| < 2) and (iter < maxIter)

  przyblizenie = iter;
end;


Przypomnijmy jeszcze działania na liczbach zespolonych jakie będziemy potrzebować podczas obliczeń. Liczba zespolona z składa się z części rzeczywistej zr oraz części urojonej zi, czyli
z = z_{r} + iz_{i}
Potęgowanie definiujemy następująco:
z^2 = (z_r^2 - z_i^2) + i(2*z_r * z_i)
Dodawanie definiujemy następująco:
a + b = (a_r + b_r) + i(a_i + b_i)
Moduł z liczby zespolonej definiujemy następująco:
|z|=\sqrt{z_{r}^{2}+z_{i}^{2}}
dlatego też w praktyce warunek |z| < 2 zastępuje się równoważną nierównością
z_{r}^{2}+z_{i}^{2} < 4
Pozbywamy się tutaj czasochłonnego obliczania pierwiastka kwadratowego.

Dla kolejnych punktów na płaszczyźnie, obliczamy przybliżenia zgodnie z podanym algorytmem i wzorami. Oś X oznacza wartości rzeczywiste, natomiast os Y wartości urojone. Przedstawiając kolejne przybliżenia na płaszczyźnie i oznaczając je różnymi kolorami otrzymujemy wynik - zbiór Julii. kolory kolejnych przybliżeń wyznaczono zgodnie z modelem HSV,ale można też użyć do tego celu odcieni szarości, bądź innego modelu barw. W zależności od parametru c zbiór ten może przybierać różne formy. Poniżej kilka najbardziej znanych przykładów (lewy górny róg ma współrzędne -1.5 -1.25i, dolny prawy róg ma współrzędne 1.5 + 1.25i):

  • the Douady's Rabbit Fractal, zwany też czasem the Dragon Fractal - wartość parametru c = -0.123 + 0.745i
    Zbiór Julii - the Douady's Rabbit Fractal
  • the San Marco Fractal - wartość parametru c = -0.75
    Zbiór Julii - the San Marco Fractal
  • the Siegel Disk Fractal - wartość parametru c = -0.390541 - 0.586788i
    Zbiór Julii - the Siegel Disk Fractal
  • the Dendrite Fractal - wartość parametru c = i
    Zbiór Julii - the Dendrite Fractal


Przykład w JavaScript:

Zaznaczając obszar uzyskasz jego powiększony obraz. Kliknięcie prawym klawiszem (bądź dotknięcie dwoma palcami na urządzeniach z ekranem dotykowym) spowoduje powtórne pokazanie całego zbioru.
Część rzeczywista parameteru c:
Część urojona parameteru c:

Implementacje
AutorJęzyk
programowania
KomentarzOtwórzPobierzOcena
Tomasz LubińskiC#MS Visual Studio .net
.cs
.cs
***** / 5
Tomasz LubińskiC/C++Borland Builder 6
.cpp
.cpp
***** / 3
Tomasz LubińskiDelphi/PascalBorland Delphi 5
.pas
.pas
***** / 1
Tomasz LubińskiJavaScriptFirefox 3.0+, Safari 3.0+, Chrome 3.0+, Opera 9.5+, IE 9.0+
.js
.js
***** / 1
 
Dodaj własną implementację tego algorytmu
  • Zaloguj się na stronie
Plik:
Język
programowania:
Komentarz:
  By móc dodać implementacje zaloguj się na stronie

Poprawiony: 26 sierpnia 2012 13:56
Dodaj komentarz