Nazwa zbioru Julii (ang. Julia Set) pochodzi od nazwiska jego odkrywcy - francuskiego matematyka Gastona Julii. By zdefiniować zbiór Julii, zdefiniujemy najpierw dla danej stałej c oraz danego punktu p na płaszczyźnie zespolonej nieskończony ciąg liczb zespolonych z₀, z₁, z₂, ... o wartościach zdefiniowanych następująco:
z₀ = p
z_n+1 = z_n² + c

Julia zauważył, iż dla pewnych punktów p ciąg ten jest ograniczony - nie dąży do nieskończoności, a dla innych ciąg taki jest nieograniczony - dąży do nieskończoności. Zbiory takich punktów nazywa się odpowiednio zbiorem więźniów - dla ciągów ograniczonych oraz zbiorem uciekinierów - dla ciągów nieograniczonych. Oba te zbiory są niepuste i dopełniające się na płaszczyźnie zespolonej, zatem istnieje tylko ich jedna, wspólna granica. Zbiór Julii definiujemy jako zbiór liczb zespolonych p takich, że zdefiniowany powyżej ciąg nie dąży do nieskończoności, czyli jest to zbiór więźniów.

Brzeg tego zbioru jest fraktalem. Po raz pierwszy pojęcie fraktala zostało użyte przez Benoit Mandelbrota w latach 70-tych XX wieku. Po łacinie fractus oznacza podzielny, ułamkowy, cząstkowy. Nazwa ta nie ma ścisłej matematycznej definicji. Oznacza ona obiekty, które mają nietrywialną strukturę w każdej skali oraz są samopodobne - czyli każda ich część przypomina całość. W praktyce by narysować fraktale oblicza się kolejne przybliżenia zbioru, które oznacza się różnymi kolorami. I tak kolejne przybliżenia zdefiniujemy jako zbiór liczb zespolonych p takich, że:

• 1 przybliżenie: wszystkie punkty
• 2 przybliżenie: |z₁| < 2
• 3 przybliżenie: |z₁| < 2 oraz |z₂| < 2
• 4 przybliżenie: |z₁| < 2 oraz |z₂| < 2 oraz |z₃| < 2
• ...
• n-te przybliżenie: |z₁| < 2 oraz |z₂| < 2, ... |z_n-1| < 2

Zatem funkcję obliczającą w jakim maksymalnym przybliżeniu dany punkt p należy do zbioru Julii dla stałej c możemy zdefiniować następująco (gdzie maxIter to maksymalne przybliżenie z jakim chcemy wyznaczać zbiór):

przyblizenie(p, c)
begin
  iter := 0;
  z := p;

  repeat
     iter := iter + 1;
     z = z^2 + c;
  until (|z| < 2) and (iter < maxIter)

  przyblizenie = iter;
end;


Przypomnijmy jeszcze działania na liczbach zespolonych jakie będziemy potrzebować podczas obliczeń. Liczba zespolona z składa się z części rzeczywistej z_r oraz części urojonej z_i, czyli z = z_r + i z_i.
Potęgowanie definiujemy następująco:
z² = (z_r² - z_i²) + i(2 z_r z_i)
Dodawanie definiujemy następująco:
a + b = (a_r + b_r) + i(a_i + b_i)
Moduł z liczby zespolonej definiujemy następująco:
,
dlatego też w praktyce warunek |z| < 2 zastępuje się równoważną nierównością (z_r² + z_i²) < 4. Pozbywamy się tutaj czasochłonnego obliczania pierwiastka kwadratowego.

Dla kolejnych punktów na płaszczyźnie, obliczamy przybliżenia zgodnie z podanym algorytmem i wzorami. Oś X oznacza wartości rzeczywiste, natomiast os Y wartości urojone. Przedstawiając kolejne przybliżenia na płaszczyźnie i oznaczając je różnymi kolorami otrzymujemy wynik - zbiór Julii. kolory kolejnych przybliżeń wyznaczono zgodnie z modelem HSV,ale można też użyć do tego celu odcieni szarości, bądź innego modelu barw. W zależności od parametru c zbiór ten może przybierać różne formy. Poniżej kilka najbardziej znanych przykładów (lewy górny róg ma współrzędne -1.5 -1.25i, dolny prawy róg ma współrzędne 1.5 + 1.25i):

• the Douady's Rabbit Fractal, zwany też czasem the Dragon Fractal - wartość parametru c = -0.123 + 0.745i
  
• the San Marco Fractal - wartość parametru c = -0.75
  
• the Siegel Disk Fractal - wartość parametru c = -0.390541 - 0.586788i
  
• the Dendrite Fractal - wartość parametru c = i