Po raz pierwszy pojęcie fraktala zostało użyte przez Benoit Mandelbrota w latach 70-tych XX wieku. Po łacinie fractus oznacza podzielny, ułamkowy, cząstkowy. Nazwa ta nie ma ścisłej matematycznej definicji. Oznacza ona obiekty, które mają nietrywialną strukturę w każdej skali oraz są samopodobne - czyli każda ich część przypomina całość. Mandelbrot prowadził badania przy pomocy komputera. Pierwsze obrazy zbioru opublikował w roku 1980.

By zdefiniować zbiór Mandelbrota, zdefiniujemy najpierw dla danego punktu p na płaszczyźnie zespolonej nieskończony ciąg liczb zespolonych z₀, z₁, z₂, ... o wartościach zdefiniowanych następująco:
z₀ = 0
z_n+1 = z_n² + p

Zbiór Mandelbrota (ang. Mandelbrot Set) definiujemy jako zbiór liczb zespolonych p takich, że zdefiniowany powyżej ciąg nie dąży do nieskończoności.

A gdzie tutaj wspomniany fraktal? Otóż fraktalem jest brzeg tego zbioru. W praktyce by narysować fraktale oblicza się kolejne przybliżenia zbioru, które oznacza się różnymi kolorami. I tak kolejne przybliżenia zdefiniujemy jako zbiór liczb zespolonych p takich, że:

• 1 przybliżenie: wszystkie punkty
• 2 przybliżenie: |z₁| < 2
• 3 przybliżenie: |z₁| < 2 oraz |z₂| < 2
• 4 przybliżenie: |z₁| < 2 oraz |z₂| < 2 oraz |z₃| < 2
• ...
• n-te przybliżenie: |z₁| < 2 oraz |z₂| < 2, ... |z_n-1| < 2

Zatem funkcję obliczającą z jakim maksymalnym przybliżeniem dany punkt p należy do zbioru Mandelbrota możemy zdefiniować następująco (gdzie maxIter to maksymalne przybliżenie z jakim chcemy wyznaczać zbiór):

przyblizenie(p)
begin
  iter := 0;
  z := 0;

  repeat
     iter := iter + 1;
     z = z^2 + p;
  until (|z| < 2) and (iter < maxIter)

  przyblizenie = iter;
end;


Przypomnijmy jeszcze działania na liczbach zespolonych jakie będziemy potrzebować podczas obliczeń. Liczba zespolona z składa się z części rzeczywistej z_r oraz części urojonej z_i, czyli z = z_r + i z_i.
Potęgowanie definiujemy następująco:
z² = (z_r² - z_i²) + i(2 z_r z_i)
Dodawanie definiujemy następująco:
a + b = (a_r + b_r) + i(a_i + b_i)
Moduł z liczby zespolonej definiujemy następująco:
,
dlatego też w praktyce warunek |z| < 2 zastępuje się równoważną nierównością (z_r² + z_i²) < 4. Pozbywamy się tutaj czasochłonnego obliczania pierwiastka kwadratowego.

Dla kolejnych punktów na płaszczyźnie, obliczamy przybliżenia zgodnie z podanym algorytmem i wzorami. Oś X oznacza wartości reczywiste, natomiast os Y wartości urojone. Przedstawiając kolejne przybliżenia na płaszczyźnie (lewy górny róg ma współrzędne -2.0 + -1.25i, dolny prawy róg ma współrzędne 0.5 + 1.25i) i oznaczając je różnymi kolorami otrzymujemy wynik - zbiór Mandelbrota, zwany też czasami ze względu na swój wygląd żukiem Mandelbrota. Na obrazie poniżej kolory kolejnych przybliżeń wyznaczono zgodnie z modelem HSV, ale można też użyć do tego celu odcieni szarości, bądź innego modelu barw.



Dokonując przybliżenia wybranych obszarów możemy otrzymać m.in:

• dolinę słonia (ang. elephant valley) - (lewy górny róg ma współrzędne 0.25 + -0.05i, dolny prawy róg ma współrzędne 0.35 + 0.05i)
  
  
  
  
• dolinę konika morskiego (ang. sea horse valley) - (obszar w okolicy punktu -0.75 + 0.1i), poniżej przybliżenie jednej ze struktur w dolinie konika morskiego
  
  
  
  

Komentarze