algorytm.org

Zbiór Mandelbrot'a

Praca
Interesuje Cię praca przy weryfikacji oprogramowania do samolotów?
Sprawdź to!
Baza Wiedzy
wersja offline serwisu przeznaczona na urządzenia z systemem Android
Darowizny
darowiznaWspomóż rozwój serwisu
Nagłówki RSS
Artykuły
Implementacje
Komentarze
Forum
Bookmarki






Sonda
Implementacji w jakim języku programowania poszukujesz?

Zbiór Mandelbrot'a
Ocena użytkowników:***** / 34
SłabyŚwietny 
Wpisany przez Tomasz Lubiński, 18 sierpnia 2008 22:39

Po raz pierwszy pojęcie fraktala zostało użyte przez Benoit Mandelbrota w latach 70-tych XX wieku. Po łacinie fractus oznacza podzielny, ułamkowy, cząstkowy. Nazwa ta nie ma ścisłej matematycznej definicji. Oznacza ona obiekty, które mają nietrywialną strukturę w każdej skali oraz są samopodobne - czyli każda ich część przypomina całość. Mandelbrot prowadził badania przy pomocy komputera. Pierwsze obrazy zbioru opublikował w roku 1980.

By zdefiniować zbiór Mandelbrota, zdefiniujemy najpierw dla danego punktu p na płaszczyźnie zespolonej nieskończony ciąg liczb zespolonych z0, z1, z2, ... o wartościach zdefiniowanych następująco:
z_0 = 0\\\\ z_{n+1} = z_n^2 + p
Zbiór Mandelbrota (ang. Mandelbrot Set) definiujemy jako zbiór liczb zespolonych p takich, że zdefiniowany powyżej ciąg nie dąży do nieskończoności.

A gdzie tutaj wspomniany fraktal? Otóż fraktalem jest brzeg tego zbioru. W praktyce by narysować fraktale oblicza się kolejne przybliżenia zbioru, które oznacza się różnymi kolorami. I tak kolejne przybliżenia zdefiniujemy jako zbiór liczb zespolonych p takich, że:
  • 1 przybliżenie: wszystkie punkty
  • 2 przybliżenie: |z1| < 2
  • 3 przybliżenie: |z1| < 2 oraz |z2| < 2
  • 4 przybliżenie: |z1| < 2 oraz |z2| < 2 oraz |z3| < 2
  • ...
  • n-te przybliżenie: |z1| < 2 oraz |z2| < 2, ... |zn-1| < 2


Zatem funkcję obliczającą z jakim maksymalnym przybliżeniem dany punkt p należy do zbioru Mandelbrota możemy zdefiniować następująco (gdzie maxIter to maksymalne przybliżenie z jakim chcemy wyznaczać zbiór):

przyblizenie(p)
begin
  iter := 0;
  z := 0;

  repeat
     iter := iter + 1;
     z = z^2 + p;
  until (|z| < 2) and (iter < maxIter)

  przyblizenie = iter;
end;


Przypomnijmy jeszcze działania na liczbach zespolonych jakie będziemy potrzebować podczas obliczeń. Liczba zespolona z składa się z części rzeczywistej zr oraz części urojonej zi, czyli
z = z_{r} + iz_{i}
Potęgowanie definiujemy następująco:
z^2 = (z_r^2 - z_i^2) + i(2*z_r * z_i)
Dodawanie definiujemy następująco:
a + b = (a_r + b_r) + i(a_i + b_i)
Moduł z liczby zespolonej definiujemy następująco:
|z|=\sqrt{z_{r}^{2}+z_{i}^{2}}
dlatego też w praktyce warunek |z| < 2 zastępuje się równoważną nierównością
z_{r}^{2}+z_{i}^{2} < 4
Pozbywamy się tutaj czasochłonnego obliczania pierwiastka kwadratowego.

Dla kolejnych punktów na płaszczyźnie, obliczamy przybliżenia zgodnie z podanym algorytmem i wzorami. Oś X oznacza wartości reczywiste, natomiast os Y wartości urojone. Przedstawiając kolejne przybliżenia na płaszczyźnie (lewy górny róg ma współrzędne -2.0 + -1.25i, dolny prawy róg ma współrzędne 0.5 + 1.25i) i oznaczając je różnymi kolorami otrzymujemy wynik - zbiór Mandelbrota, zwany też czasami ze względu na swój wygląd żukiem Mandelbrota. Na obrazie poniżej kolory kolejnych przybliżeń wyznaczono zgodnie z modelem HSV, ale można też użyć do tego celu odcieni szarości, bądź innego modelu barw.

Zbiór Mandelbrot'a


Dokonując przybliżenia wybranych obszarów możemy otrzymać m.in:
  • dolinę słonia (ang. elephant valley) - (lewy górny róg ma współrzędne 0.25 + -0.05i, dolny prawy róg ma współrzędne 0.35 + 0.05i)

    Zbiór Mandelbrot'a - dolina słonia


  • dolinę konika morskiego (ang. sea horse valley) - (obszar w okolicy punktu -0.75 + 0.1i), poniżej przybliżenie jednej ze struktur w dolinie konika morskiego

    Zbiór Mandelbrot'a - dolina konika morskiego




Przykład w JavaScript:

Zaznaczając obszar uzyskasz jego powiększony obraz. Kliknięcie prawym klawiszem (bądź dotknięcie dwoma palcami na urządzeniach z ekranem dotykowym) spowoduje powtórne pokazanie całego zbioru.


Implementacje
AutorJęzyk
programowania
KomentarzOtwórzPobierzOcena
Tomasz LubińskiC#MS Visual Studio .net
.cs
.cs
***** / 4
Tomasz LubińskiC/C++Borland Builder 6
.cpp
.cpp
***** / 7
Tomasz LubińskiDelphi/PascalBorland Delphi 5
.pas
.pas
***** / 2
Tomasz LubińskiJavaScriptFirefox 3.0+, Safari 3.0+, Chrome 3.0+, Opera 9.5+, IE 9.0+
.js
.js
***** / 3
 
Dodaj własną implementację tego algorytmu
  • Zaloguj się na stronie
Plik:
Język
programowania:
Komentarz:
  By móc dodać implementacje zaloguj się na stronie

Poprawiony: 26 sierpnia 2012 13:42
Komentarze
photo
0 # g0nz4l4 2010-02-24 19:39
Świetny art, bardzo mi pomógł. Mógłbyś jeszcze przedstawić metodę i algorytm tworzenia tzw. Buddhabrota, bo ciężko znaleźć coś na ten temat.
Odpowiedz | Odpowiedz z cytatem | Cytować
photo
+1 # Tomasz Lubiński 2015-08-26 14:02
Buddhabrot jest już opisany - www.algorytm.org/fraktale/buddhabrot.html
Odpowiedz | Odpowiedz z cytatem | Cytować
photo
0 # cx3 2013-01-05 02:18
Bardzo mi pomogłeś! Dziękuję Ci bardzo za ogół różnych artów, kawał świetnej roboty, nie ma co. Bardzo ciężko znaleźć cokolwiek nt. zbioru Mandelbrota w 3D, strasznie gruby temat, ale nie tylko ja wierzę, że łebski z Ciebie facet ;)
Odpowiedz | Odpowiedz z cytatem | Cytować
photo
0 # Anonim 2015-08-19 10:17
Świetny artykuł - prosty i przyjemny dzięki Ci wielkie autorze !
Odpowiedz | Odpowiedz z cytatem | Cytować
Dodaj komentarz