Algorytm Hornera pozwala na obliczenie wartości znoramalizowanych pochodnych wielomianu postaci: W(x)=a_nxⁿ+...+a₁x+a₀, gdzie n oznacza stopień wielomanu. W(x) możemy przedstawić następująco: W(x)=(x-a)^jv(x)+r(x), gdzie wielomian r jest stopnia mniejszego niż j. Po j-krotnym zróżniczkowaniu otrzymujemy: W^(j)(a)=j!v(a), czyli v(a) jest równy j-tej znormalizowanej pochodnej w punkcie a. Współczynniki v i jego wartość obliczamy dzieląc wielomian W(x) i kolejno otrzymywane ilorazy przez (x-a) algorytmem Hornera.
Przykład:
Obliczymy wszystkie trzy znormalizowane pochode wielomianu W(x)=x³-2x²-5x+5 w punkcie x=2
b₂=a₃=1
b₁=b₂*2+a₂=0
b₀=b₁*2+a₁=-5
Zatem po podzieleniu W(x)/(x-2) otrzymujemy x²-5, którego wartość dla x=2 wynosi -1 - zatem właśnie tyle wynosi pierwsza znormalizowana pochodna. Otrzymany wielomian dzielimy jak poprzednio.
c₁=b₂=1
c₀=b₁*2+a₁=2
I otrzymujemy x+2, którego wartość dla x=2 wynosi 4 - druga znormalizowana pochodna.
d₀=c₁=1
I otrzymujemy 1, wartość dla x=2 wynosi 1 - trzecia znormalizowana pochodna.

Komentarze