Gdy nasza znajomość funkcji ogranicza się do zbioru argumentów oraz odpowiadającego mu zbioru wartości to aby znaleźć wartości funkcji pomiędzy znanymi nam argumentami korzystamy z interpolacji. Szukanie wartości poza obszarem obejmującym zbiór argumentów nazywamy ekstrapolacją.

Innymi słowy nasza znajomość funkcji ogranicza się do postaci stabelaryzowanej:

x1	x2	...	xn
f(x1)	f(x2)	...	f(xn)

x_i – węzły interpolacji
Cel: znalezienie wartości funkcji pomiędzy węzłami (interpolacja).

Jednym ze sposobów na osiągnięcie naszego celu jest interpolacja za pomocą wielomianów:
Nasza tabela wyznacza wielomian stopnia n-1:
a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + ... + a₁x + a₀.

Czyli aby wyliczyć wartości funkcji pomiędzy węzłami potrzebujemy współczynników tego wielomianu, które łatwo otrzymamy podstawiając do wielomianu informacje z tabeli co stworzy nam układ równań, który zapisany w postaci macierzowej przyjmuje postać:



Tak przygotowany układ można rozwiązać np. metodą eliminacji Gaussa.
Warto wspomnieć, że choć na ludzki rozum wydaję się, że im więcej węzłów tym lepiej, w rzeczywistości może prowadzić to jednak do znacznych wahań między węzłami – tzw. Oscylacje Rungego.

Przykład:
Załóżmy, że znamy 6 wartości funkcji:

xi	2	3	6	7	8	10
f(xi)	0	2	3	5	1	2

Zatem będziemy obliczać układ 6 równań z 6 niewiadomymi.
a₅2⁵ + a₄2⁴ + a₃2³ + a₂2² + a₁2 + a₀ = 0
a₅3⁵ + a₄3⁴ + a₃3³ + a₂3² + a₁3 + a₀ = 2
a₅6⁵ + a₄6⁴ + a₃6³ + a₂6² + a₁6 + a₀ = 3
a₅7⁵ + a₄7⁴ + a₃7³ + a₂7² + a₁7 + a₀ = 5
a₅8⁵ + a₄8⁴ + a₃8³ + a₂8² + a₁8 + a₀ = 1
a₅10⁵ + a₄10⁴ + a₃10³ + a₂10² + a₁10 + a₀ = 2

Rozwiązaniem takiego układu są natępujące wartości:
a₀ = -149.0000000000012
a₁ = 178.68333333333408
a₂ = -77.8583333333334
a₃ = 15.566666666666668
a₄ = -1.4416666666666667
a₅ = 0.05

Zatem wielomian, z którego obliczać będziemy interpolowane wartości będzie miał postać:
0.05x⁵ + -1.4416666666666667x⁴ + 15.566666666666668x³ + -77.8583333333334x² + 178.68333333333408x - 149.0000000000012

Poniżej przedstawiono wartości obliczonego wielomianu, oraz punkty na podstawie, których został on obliczony.

Komentarze