Metoda eliminacji Gaussa pozwala nam obliczyć układ n równań z n niewiadomymi Ax=b. Przekształcamy w niej macierz współczynników A do macierzy trójkątnej górnej R, z której następnie obliczamy ostateczne rozwiązanie - czyli wektor x. Macierz trójkątną górną R otrzymujemy w następujący sposób: (Przez macierz (A,b) rozumieć będziemy macierz współczynników A z dodaną na końcu kolumną wyrazów wolnych b)

1. W macierzy (A,b) szukamy elementu a_r1 różnego od zera i przechodzimy do następnego punktu. Jeżeli natomiast nie istnieje taki element to znaczy, że macierz jest osobliwa i nie możemy rozwiązać tego układu.
2. Zamieniamy wiersz r-ty i pierwszy.
3. Odejmujemy od i-tego wiersza macierzy l_i krotność wiersza i-tego i pierwszego. Można to przedstawić za pomocą wzorów: (i=2,3,...,n j=2,3,...,n)
   a_{ij} = a_{ij} - l_i * a{1j}\\\\ b_i = b_i - l_i * b_i\\\\ \text{gdzie } l_i = \frac{a_{i1}}{a_{11}}
4. Następnie wywołujemy tą procedurę od punktu pierwszego rekurncyjnie dla macierzy (A',b') - czyli macierz (A,b) pomniejszoną o pierwszą kolumnę i pierwszy wiersz.
   
   (A,b)=\begin{vmatrix} a_{11}&\begin{matrix} a_{12}&...&a_{1n}&b_{n} \end{matrix}\\ \begin{matrix} a_{21}\\ ...\\ a_{n1} \end{matrix}&\begin{vmatrix} a_{22}&...&a_{2n}&b_{2}\\ ...&...&...&...\\ a_{n2}&...&a_{nn}&b_{n} \end{vmatrix} \end{vmatrix}
   
   
   
   (A',b')=\begin{vmatrix} a_{22}&...&a_{2n}&b_{2}\\ ...&...&...&...\\ a_{n2}&...&a_{nn}&b_{n} \end{vmatrix}
   
   
   

Wybór częściowy elementu podstawowego uzyskamy wybierając za element, a w punkcie pierwszym |a_r1|=max|a_i1| i=1,2,...,n
Pełny wybór elementu podstawowego poprzez |a_rs|=max|a_ij| i=1,2,...,n j=1,2,...,n Musimy przestawić wiersz r-ty i pierwszy oraz kolumnę s-tą i pierwszą (zmiany kolumn należy zapamiętać gdyż powoduje ona zamianę niewiadowmych!).
Gdy przekształcimy już macierz współczynników A do macierzy trójkątnej górnej R, oraz wektor b do wektora c możemy już wyznaczyć ostateczne rozwiązanie ze wzoru: (i=n,n-1,...,1)

x_{i}=\frac{c_{i}-\sum_{k=i+1}^{n}{r_{ik}x_{k}}}{r_{ii}}

Przykład, niech będzie dana macierz A oraz wektor b, z których tworzymy macierz (A,b)

(A,b)=\begin{vmatrix}3&1&0&-3\\1&2&-1&0\\0&-1&3&0\end{vmatrix}

po przekształceniach:

\begin{vmatrix}3&1&0&-3\\0&\frac{5}{3}&-1&1\\0&-1&3&0\end{vmatrix}

natępnie wywołujemy procedurę rekurencyjnie dla:

\begin{vmatrix}\frac{5}{3}&-1&1\\-1&3&0\end{vmatrix}

po przekształceniach:

\begin{vmatrix}\frac{5}{3}&-1&1\\0&\frac{12}{5}&\frac{3}{5}\end{vmatrix}

Ponieważ ostatniej macierzy nie możemy już rekurencyjnie wywołać (po odcięciu górnego wiersza i prawej kolumny zostanie wektor), zatem otrzymaliśmy szukaną macierz R i wektor c, z których wyznaczamy ostateczne rozwiązanie

(R,c)=\begin{vmatrix}3&1&0&-3\\0&\frac{5}{3}&-1&1\\0&0&\frac{12}{5}&\frac{3}{5}\end{vmatrix}

x[3]=0.25 x[2]=0.75 x[1]=-1.25