Wpisany przez Tomasz Lubiński
poniedziałek, 13 marca 2006 18:42
Metoda Gaussa - Seidela jest metodą iteracyjną i pozwala nam obliczyć układ n równań z n niewiadomymi Ax = b. Wektor x0 będący początkowym przybliżeniem rozwiązania układu będzie dany (zwykle przyjmuje się go jako wektor złożony z samych zer). By zastosować tą metodę należy najpierw tak zamienić kolejność równań układu, aby na głównej przekątnej były elementy różne od zera.
Na początku macierz współczynników A rozłożymy na sumę trzech macierzy A = L + D + U, gdzie L jest macierzą w której znajdują się elementy których numer wiersza jest większy od numeru kolumny, D to macierz diagonalna z elementami tylko na głównej przekątnej, a U to macierz, w której znajdują się elementy których numery wiersza są mniejsze od numerów kolumny. Można to zapisać następująco:
Następnie obliczymy macierz odwrotną do macierzy D, czyli D-1. Otrzymamy ją po podniesieniu do potęgi -1 wszystkich wartości na głównej przekątnej macierzy. Po tych operacjach możemy przystąpić już do iteracyjnego obliczania kolejnych przybliżeń rozwiązania według następującego wzoru:
xn+1 = D-1b - D-1Lxn+1 - D-1Uxn
(indeksy n oznaczają tutaj numer iteracji)
Przykład
Obliczymy następujący układ równań:
4x1 - x2 - 0.2x3 + 2x4 = 30
-1x1 + 5x2 - 2x4 = 0
0.2x1 + x2 + 10x3 - x4 = -10
- 2x2 - x3 + 4x4 = 5
Zapiszmy go teraz w postaci Ax = b
Podzielmy teraz macierz A na sumę macierzy L + D + U
Obliczmy teraz macierz D-1
A teraz kolejno D-1b, D-1L, D-1U
Rozpoczynamy od zerowego przybliżenia czyli x10 = 0, x20 = 0, x30 = 0, x40 = 0
Obliczmy pierwszą iterację metody, według przytoczonego na początku wzoru:
x11 = 7,5 + 0,25x20 + 0,05x30 - 0,5x40
x11 = 7,5
x21 = 0 + 0,2x11 + 0,4x40
x21 = 1,5
x31 = -1 - 0,02x11 - 0,1x21 + 0,1x40
x31 = -1,30
x41 = 1,25 + 0,5x21 + 0,25x31
x41 = 1,675
Kolejna iteracja
x12 = 7,5 + 0,25x21 + 0,05x31 - 0,5x41
x12 = 6,9725
x22 = 0 + 0,2x12 + 0,4x41
x22 = 2,0645
x32 = -1 - 0,02x12 - 0,1x22 + 0,1x41
x32 = -1,1784
x42 = 1,25 + 0,5x22 + 0,25x32
x42 = 1,98765
Można teraz obliczyć kolejną iterację. Każda z nich przybliża nas do dokładnego wyniku.
Na początku macierz współczynników A rozłożymy na sumę trzech macierzy A = L + D + U, gdzie L jest macierzą w której znajdują się elementy których numer wiersza jest większy od numeru kolumny, D to macierz diagonalna z elementami tylko na głównej przekątnej, a U to macierz, w której znajdują się elementy których numery wiersza są mniejsze od numerów kolumny. Można to zapisać następująco:
Następnie obliczymy macierz odwrotną do macierzy D, czyli D-1. Otrzymamy ją po podniesieniu do potęgi -1 wszystkich wartości na głównej przekątnej macierzy. Po tych operacjach możemy przystąpić już do iteracyjnego obliczania kolejnych przybliżeń rozwiązania według następującego wzoru:
xn+1 = D-1b - D-1Lxn+1 - D-1Uxn
(indeksy n oznaczają tutaj numer iteracji)
Przykład
Obliczymy następujący układ równań:
4x1 - x2 - 0.2x3 + 2x4 = 30
-1x1 + 5x2 - 2x4 = 0
0.2x1 + x2 + 10x3 - x4 = -10
- 2x2 - x3 + 4x4 = 5
Zapiszmy go teraz w postaci Ax = b
Podzielmy teraz macierz A na sumę macierzy L + D + U
Obliczmy teraz macierz D-1
A teraz kolejno D-1b, D-1L, D-1U
Rozpoczynamy od zerowego przybliżenia czyli x10 = 0, x20 = 0, x30 = 0, x40 = 0
Obliczmy pierwszą iterację metody, według przytoczonego na początku wzoru:
x11 = 7,5 + 0,25x20 + 0,05x30 - 0,5x40
x11 = 7,5
x21 = 0 + 0,2x11 + 0,4x40
x21 = 1,5
x31 = -1 - 0,02x11 - 0,1x21 + 0,1x40
x31 = -1,30
x41 = 1,25 + 0,5x21 + 0,25x31
x41 = 1,675
Kolejna iteracja
x12 = 7,5 + 0,25x21 + 0,05x31 - 0,5x41
x12 = 6,9725
x22 = 0 + 0,2x12 + 0,4x41
x22 = 2,0645
x32 = -1 - 0,02x12 - 0,1x22 + 0,1x41
x32 = -1,1784
x42 = 1,25 + 0,5x22 + 0,25x32
x42 = 1,98765
Można teraz obliczyć kolejną iterację. Każda z nich przybliża nas do dokładnego wyniku.
| Autor | Język programowania | Komentarz | Otwórz | Pobierz | Ocena |
| Tomasz Lubiński | C/C++ |  | |
  / 12 | |
| Marian | C/C++ | C++ | | |
/ 8 |
| Codename | C/C++ | | |
/ 2 | |
| Tomasz Lubiński | Delphi/Pascal | Borland Delphi 5 |  | |
/ 3 |
| Tomasz Lubiński | Java |  | |
/ 4 |
Poprawiony: poniedziałek, 20 czerwca 2011 22:04
Komentarze
x^(n+1) = D-1b - D-1Lx^(n+1) - D-1Ux^(n)
nie powinien wyglądać tak:
x^(n+1) = D-1b - D-1Lx^(n) - D-1Ux^(n)
Bo mam wrażenie, że jest tam błąd. Może mi ktoś wytłumaczyć dlaczego jest tak?
Bo z analizy kodów wynika, że powinno być tak jak na dole jak podałem.
Rozwiązaniem są liczby 5 i 2 co łatwo sprawdzić. A program niestety pokazuje inne rozwiązanie.
x^(n+1) = D-1b - D-1Lx^(n) - D-1Ux^(n) a nie tak jak tu podany:
x^(n+1) = D-1b - D-1Lx^(n+1) - D-1Ux^(n)
proszę o wytlumaczenie...
jest błąd w pierwszej iteracji 0^0=1 a tu autor przyjął 0^0=0