Metoda Jacobiego jest metodą iteracyjną i pozwala nam obliczyć układ n równań z n niewiadomymi Ax = b. Wektor x⁰ będący początkowym przybliżeniem rozwiązania układu będzie dany (zwykle przyjmuje się go jako wektor złożony z samych zer). Kolejne przybliżenia będziemy obliczać według następującego wzoru:
xⁿ⁺¹ = Mxⁿ + Nb,
(indeksy n oznaczają tutaj numer iteracji)
gdzie M = I - NA, N jest pewną macierzą kwadratową, I to macierz jednostkowa (złożona z samych zer oprócz głównej przekątnej na której znajdują się jedynki). Macierz współczynników A rozłożymy na sumę trzech macierzy A = L + D + U, gdzie L jest macierzą w której znajdują się elementy których numer wiersza jest większy od numeru kolumny, D to macierz diagonalna z elementami tylko na głównej przekątnej, a U to macierz, w której znajdują się elementy których numery wiersza są mniejsze od numerów kolumny. Można to zapisać następująco:

W metodzie Jacobiego przyjmiemy, że N=D^-1, to wówczas M = -D^-1(L+U). By zastosować tą metodę należy najpierw tak zamienić kolejność równań układu, aby na głównej przekątnej były elementy różne od zera. Macierz D^-1 otrzymamy po podniesieniu do potęgi -1 wszystkich wartości na głównej przekątnej macierzy D. Metoda ta jest zbieżna dla dowolnego przybliżenia początkowego rozwiązania x⁰, jeśli promil spektralny -D^-1(L+U) jest mniejszy od jeden (promień spektralny to największa wartość bezwzględna z wartości własnej macierzy). W przeciwnym wypadku nie dla każdego przybliżenia początkowego otrzymamy rozwiązanie układu.

Przykład

Obliczymy następujący układ równań:
4x₁ - x₂ - 0.2x₃ + 2x₄ = 30
-1x₁ + 5x₂ - 2x₄ = 0
0.2x₁ + x₂ + 10x₃ - x₄ = -10
- 2x₂ - x₃ + 4x₄ = 5

Zapiszmy go teraz w postaci Ax = b


Podzielmy teraz macierz A na sumę macierzy L + D + U


Obliczmy teraz macierz N = D^-1


A teraz kolejno M = -D^-1(L+U) = -N(L+U).


Rozpoczynamy od zerowego przybliżenia czyli x₁⁰ = 0, x₂⁰ = 0, x₃⁰ = 0, x₄⁰ = 0

Obliczmy pierwszą iterację metody, według przytoczonego na początku wzoru:
x₁¹ = 7,5 + 0,25x₂⁰ + 0,05x₃⁰ - 0,5x₄⁰
x₁¹ = 7,5
x₂¹ = 0 + 0,2x₁⁰ + 0,4x₄⁰
x₂¹ = 0
x₃¹ = -1 - 0,02x₁⁰ - 0,1x₂⁰ + 0,1x₄⁰
x₃¹ = -1
x₄¹ = 1,25 + 0,5x₂⁰ + 0,25x₃⁰
x₄¹ = 1,25

Kolejna iteracja
x₁² = 7,5 + 0,25x₂¹ + 0,05x₃¹ - 0,5x₄¹
x₁² = 6,825
x₂² = 0 + 0,2x₁¹ + 0,4x₄¹
x₂² = 2
x₃² = -1 - 0,02x₁¹ - 0,1x₂¹ + 0,1x₄¹
x₃² = -1,025
x₄² = 1,25 + 0,5x₂¹ + 0,25x₃¹
x₄² = 1

Można teraz obliczyć kolejną iterację. Każda z nich przybliża nas do dokładnego wyniku.

Komentarze