Wpisany przez Tomasz Lubiński,
21 lipca 2009 15:45
Zbiór Mandelbar jest jednym z wielu zbiorów powstałych na podstawie modyfikacji zbioru Mandelbrota. Proces generowania przybliżeń zbioru Mandelbar przebiega identycznie jak w przypadku zbioru Mandelbrota. Różnica polega na wprowadzeniu w tym pierwszym operacji sprzężenia liczby zespolonej. Podczas gdy w przypadku zbioru Mandelbrota ciąg liczb zespolonych z0, z1, z2, ..., dla danego punktu p na płaszczyźnie zespolonej zdefiniowany był następująco:
Przypomnijmy jeszcze działania na liczbach zespolonych jakie będziemy potrzebować podczas obliczeń. Liczba zespolona z składa się z części rzeczywistej zr oraz części urojonej zi, czyli
Mnożenie definiujemy następująco:
Poniżej znajdują się definicje zbiorów Mandelbar kolejnych rzędów wraz z ich reprezentacją graficzną:
Zaznaczając obszar uzyskasz jego powiększony obraz. Kliknięcie prawym klawiszem (bądź dotknięcie dwoma palcami na urządzeniach z ekranem dotykowym) spowoduje powtórne pokazanie całego zbioru.
z_0 = 0\\\\
z_{n+1} = z_n^2 + p
To dla zbioru Mandelbar wprowadza się operację sprzężenia zwrotnego:
z_0 = 0\\\\
z_{n+1} = \bar{z}_n^2 + p
Stąd też bierze się jego nazwa. Do zapisu sprzężenia zwrotnego używamy kreseczki nad liczbą (ang. bar) i stąd też nazwa zbioru Mandelbar. Czasem też, zbiór ten nazywany jest Tricorn (od swojego wyglądu).Przypomnijmy jeszcze działania na liczbach zespolonych jakie będziemy potrzebować podczas obliczeń. Liczba zespolona z składa się z części rzeczywistej zr oraz części urojonej zi, czyli
z = z_{r} + iz_{i}
Sprzężenie liczby zespolonej definiujemy następująco:
\bar{z} = z_r - iz_i
czyli polega ono na odwróceniu znaku części urojonej, przy czym ma ono niższy priorytet od pozostałych działań i zapis
\bar{z}^n
oznacza, że najpierw liczba z będzie podniesiona do n-tej potęgi, a dopiero na tym wyniku zostanie przeprowadzona operacja sprzężenia, czyli odwrócenia znaku części urojonej.Mnożenie definiujemy następująco:
a * b = (a_r*b_r - a_i*b_i) + i(a_r*b_i + a_i*b_r)
Dodawanie definiujemy następująco:
a + b = (a_r + b_r) + i(a_i + b_i)
Moduł z liczby zespolonej definiujemy następująco:
|z|=\sqrt{z_{r}^{2}+z_{i}^{2}}
dlatego też w praktyce warunek |z| < 2 zastępuje się równoważną nierównością
z_{r}^{2}+z_{i}^{2} < 4
Możliwe jest również generowanie zbiorów Mandelbar wyższych rzędów.Poniżej znajdują się definicje zbiorów Mandelbar kolejnych rzędów wraz z ich reprezentacją graficzną:
- Mandelbar (Tricorn)
z_0 = 0\\\\ z_{n+1} = \bar{z}_n^2 + p
- Cubic Mandelbar
z_0 = 0\\\\ z_{n+1} = \bar{z}_n^3 + p
- Quadratur Mandelbar
z_0 = 0\\\\ z_{n+1} = \bar{z}_n^4 + p
- Penta Mandelbar
z_0 = 0\\\\ z_{n+1} = \bar{z}_n^5 + p
- Hexa Mandelbar
z_0 = 0\\\\ z_{n+1} = \bar{z}_n^6 + p
- Hepta Mandelbar
z_0 = 0\\\\ z_{n+1} = \bar{z}_n^7 + p
- ...
Przykład w JavaScript:
Zaznaczając obszar uzyskasz jego powiększony obraz. Kliknięcie prawym klawiszem (bądź dotknięcie dwoma palcami na urządzeniach z ekranem dotykowym) spowoduje powtórne pokazanie całego zbioru.
Implementacje
| Autor | Język programowania | Komentarz | Otwórz | Pobierz | Ocena |
| Tomasz Lubiński | C# | MS Visual Studio .net | .cs | .cs | ***** / 1 |
| Tomasz Lubiński | C/C++ | Borland Builder 6 | .cpp | .cpp | ***** / 1 |
| Tomasz Lubiński | Delphi/Pascal | Borland Delphi 5 | .pas | .pas | ***** / 1 |
| Tomasz Lubiński | JavaScript | Firefox 3.0+, Safari 3.0+, Chrome 3.0+, Opera 9.5+, IE 9.0+ | .js | .js | ***** / 0 |
Poprawiony: 26 sierpnia 2012 14:14