Wpisany przez Tomasz Lubiński,
15 lipca 2009 20:16
Wyróżniamy dwie odmiany zbioru Phoenix: Phoenix Julia oraz Phoenix Mandelbrot (od nazw zbiorów, z których zostały wywiedzione). By zdefiniować zbiór Phoenix Julia, zdefiniujemy najpierw dla stałej stałej c i danego punktu p na płaszczyźnie zespolonej nieskończony ciąg liczb zespolonych z0, z1, z2, ... o wartościach zdefiniowanych następująco:
Fraktalem jest brzeg tego zbioru. W praktyce by narysować fraktale oblicza się kolejne przybliżenia zbioru, które oznacza się różnymi kolorami. I tak kolejne przybliżenia zdefiniujemy jako zbiór liczb zespolonych p takich, że:
Zatem funkcję obliczającą z jakim maksymalnym przybliżeniem dany punkt p należy do zbioru Phoenix Julia możemy zdefiniować następująco (gdzie maxIter to maksymalne przybliżenie z jakim chcemy wyznaczać zbiór):
Przypomnijmy jeszcze działania na liczbach zespolonych jakie będziemy potrzebować podczas obliczeń. Liczba zespolona z składa się z części rzeczywistej zr oraz częsci urojonej zi, czyli
Dla kolejnych punktów na płaszczyźnie, obliczamy przybliżenia zgodnie z podanym algorytmem i wzorami. Oś X oznacza wartości rzeczywiste, natomiast os Y wartości urojone. Przedstawiając kolejne przybliżenia na płaszczyźnie (lewy górny róg ma współrzędne -1.5 + -1.5i, dolny prawy róg ma współrzędne 1.5 + 1.5i) i oznaczając je różnymi kolorami otrzymujemy wynik - zbiór Phoenix typu Julia. Na obrazie poniżej kolory kolejnych przybliżeń wyznaczono zgodnie z modelem HSV. Dodatkowo jasność koloru uzależniono od wartości z jaką dany punkt wypadł z danego przybliżenia. Do kolorowania wyniku można też użyć odcieni szarości, bądź innego modelu barw. W przykładzie poniżej stała c = 0,56667 -0,5i i jest to wartość dla której otrzymany fraktal ma postać krzywej Phoenix opisanej przez Shigehiro Ushiki.
Dokonując przybliżenia wybranych obszarów zobaczymy charakterystyczne dla tego fraktala spirale:
(lewy górny róg ma współrzędne 0.10 + 0.28i, dolny prawy róg ma współrzędne 0.12 + 0.30i)
Zaznaczając obszar uzyskasz jego powiększony obraz. Kliknięcie prawym klawiszem (bądź dotknięcie dwoma palcami na urządzeniach z ekranem dotykowym) spowoduje powtórne pokazanie całego zbioru.
z_0 = p\\\\
z_{n+1} = z_n^2 + \Re(c) + \Im(c)*z_{n-1}
Zbiór Phoenix Julia definiujemy jako zbiór liczb zespolonych p takich, że zdefiniowany powyżej ciąg nie dąży do nieskończoności.Fraktalem jest brzeg tego zbioru. W praktyce by narysować fraktale oblicza się kolejne przybliżenia zbioru, które oznacza się różnymi kolorami. I tak kolejne przybliżenia zdefiniujemy jako zbiór liczb zespolonych p takich, że:
- 1 przybliżenie: wszystkie punkty
- 2 przybliżenie: |z1| < 2
- 3 przybliżenie: |z1| < 2 oraz |z2| < 2
- 4 przybliżenie: |z1| < 2 oraz |z2| < 2 oraz |z3| < 2
- ...
- n-te przybliżenie: |z1| < 2 oraz |z2| < 2, ... |zn-1| < 2
Zatem funkcję obliczającą z jakim maksymalnym przybliżeniem dany punkt p należy do zbioru Phoenix Julia możemy zdefiniować następująco (gdzie maxIter to maksymalne przybliżenie z jakim chcemy wyznaczać zbiór):
przyblizenie(p)
begin
iter := 0;
z_prev := 0;
z := p;
repeat
iter := iter + 1;
z_next = z^2 + c.r + c.i * z_prev;
z_prev = z;
z = z_next;
until (|z| < 2) and (iter < maxIter)
przyblizenie = iter;
end;
Przypomnijmy jeszcze działania na liczbach zespolonych jakie będziemy potrzebować podczas obliczeń. Liczba zespolona z składa się z części rzeczywistej zr oraz częsci urojonej zi, czyli
z = z_{r} + iz_{i}
Potęgowanie definiujemy następująco:
z^2 = (z_r^2 - z_i^2) + i(2*z_r * z_i)
Dodawanie definiujemy następująco:
a + b = (a_r + b_r) + i(a_i + b_i)
Mnożenie definiujemy następująco:
a * b = (a_r*b_r - a_i*b_i) + i(a_r*b_i + a_i*b_r)
Re(a) oznacza wartość cześci rzeczywistej liczby:
\Re(a) = a_r
Im(a) oznacza wartość cześci urojonej liczby:
\Im(a) = a_i
Moduł z liczby zespolonej definiujemy następująco:
|z|=\sqrt{z_{r}^{2}+z_{i}^{2}}
dlatego też w praktyce warunek |z| < 2 zastępuje się równoważną nierównością
z_{r}^{2}+z_{i}^{2} < 4
Pozbywamy się tutaj czasochłonnego obliczania pierwiastka kwadratowego.Dla kolejnych punktów na płaszczyźnie, obliczamy przybliżenia zgodnie z podanym algorytmem i wzorami. Oś X oznacza wartości rzeczywiste, natomiast os Y wartości urojone. Przedstawiając kolejne przybliżenia na płaszczyźnie (lewy górny róg ma współrzędne -1.5 + -1.5i, dolny prawy róg ma współrzędne 1.5 + 1.5i) i oznaczając je różnymi kolorami otrzymujemy wynik - zbiór Phoenix typu Julia. Na obrazie poniżej kolory kolejnych przybliżeń wyznaczono zgodnie z modelem HSV. Dodatkowo jasność koloru uzależniono od wartości z jaką dany punkt wypadł z danego przybliżenia. Do kolorowania wyniku można też użyć odcieni szarości, bądź innego modelu barw. W przykładzie poniżej stała c = 0,56667 -0,5i i jest to wartość dla której otrzymany fraktal ma postać krzywej Phoenix opisanej przez Shigehiro Ushiki.
Dokonując przybliżenia wybranych obszarów zobaczymy charakterystyczne dla tego fraktala spirale:
(lewy górny róg ma współrzędne 0.10 + 0.28i, dolny prawy róg ma współrzędne 0.12 + 0.30i)
Przykład w JavaScript:
Zaznaczając obszar uzyskasz jego powiększony obraz. Kliknięcie prawym klawiszem (bądź dotknięcie dwoma palcami na urządzeniach z ekranem dotykowym) spowoduje powtórne pokazanie całego zbioru.
Implementacje
| Autor | Język programowania | Komentarz | Otwórz | Pobierz | Ocena |
| Tomasz Lubiński | C# | MS Visual Studio .net | .cs | .cs | ***** / 2 |
| Tomasz Lubiński | C/C++ | Borland Builder 6 | .cpp | .cpp | ***** / 1 |
| Tomasz Lubiński | Delphi/Pascal | Borland Delphi 5 | .pas | .pas | ***** / 1 |
| Tomasz Lubiński | JavaScript | Firefox 3.0+, Safari 3.0+, Chrome 3.0+, Opera 9.5+, IE 9.0+ | .js | .js | ***** / 1 |
Poprawiony: 26 sierpnia 2012 21:16