algorytm.org

Zbiór Phoenix Mandelbrot

Baza Wiedzy
wersja offline serwisu przeznaczona na urządzenia z systemem Android
Darowizny
darowiznaWspomóż rozwój serwisu
Nagłówki RSS
Artykuły
Implementacje
Komentarze
Forum
Bookmarki






Sonda
Implementacji w jakim języku programowania poszukujesz?

Zbiór Phoenix Mandelbrot
Ocena użytkowników:***** / 1
SłabyŚwietny 
Wpisany przez Tomasz Lubiński, 16 lipca 2009 19:53

Wyróżniamy dwie odmiany zbioru Phoenix: Phoenix Julia oraz Phoenix Mandelbrot. By zdefiniować zbiór Phoenix Mandelbrot, zdefiniujemy najpierw dla danego punktu p na płaszczyźnie zespolonej nieskończony ciąg liczb zespolonych z0, z1, z2, ... o wartościach zdefiniowanych następująco:
z_0 = 0\\\\ z_{n+1} = z_n^2 + \Re(p) + \Im(p)*z_{n-1}
Zbiór Phoenix Mandelbrot definiujemy jako zbiór liczb zespolonych p takich, że zdefiniowany powyżej ciąg nie dąży do nieskończoności.

Fraktalem jest brzeg tego zbioru. W praktyce by narysować fraktale oblicza się kolejne przybliżenia zbioru, które oznacza się różnymi kolorami. I tak kolejne przybliżenia zdefiniujemy jako zbiór liczb zespolonych p takich, że:
  • 1 przybliżenie: wszystkie punkty
  • 2 przybliżenie: |z1| < 2
  • 3 przybliżenie: |z1| < 2 oraz |z2| < 2
  • 4 przybliżenie: |z1| < 2 oraz |z2| < 2 oraz |z3| < 2
  • ...
  • n-te przybliżenie: |z1| < 2 oraz |z2| < 2, ... |zn-1| < 2


Zatem funkcję obliczającą z jakim maksymalnym przybliżeniem dany punkt p należy do zbioru Phoenix Mandelbrot możemy zdefiniować następująco (gdzie maxIter to maksymalne przybliżenie z jakim chcemy wyznaczać zbiór):

przyblizenie(p)
begin
  iter := 0;
  z_prev := 0;
  z := 0;

  repeat
     iter := iter + 1;
     z_next = z^2 + p.r + p.i * z_prev;
     z_prev = z;
     z = z_next;
  until (|z| < 2) and (iter < maxIter)

  przyblizenie = iter;
end;


Przypomnijmy jeszcze działania na liczbach zespolonych jakie będziemy potrzebować podczas obliczeń. Liczba zespolona z składa się z części rzeczywistej zr oraz części urojonej zi, czyli
z = z_{r} + iz_{i}
Potęgowanie definiujemy następująco:
z^2 = (z_r^2 - z_i^2) + i(2*z_r * z_i)
Dodawanie definiujemy następująco:
a + b = (a_r + b_r) + i(a_i + b_i)
Mnożenie definiujemy następująco:
a * b = (a_r*b_r - a_i*b_i) + i(a_r*b_i + a_i*b_r)
Re(a) oznacza wartość części rzeczywistej liczby:
\Re(a) = a_r
Im(a) oznacza wartość części urojonej liczby:
\Im(a) = a_i
Moduł z liczby zespolonej definiujemy następująco:
|z|=\sqrt{z_{r}^{2}+z_{i}^{2}}
dlatego też w praktyce warunek |z| < 2 zastępuje się równoważną nierównością
z_{r}^{2}+z_{i}^{2} < 4
Pozbywamy się tutaj czasochłonnego obliczania pierwiastka kwadratowego.

Dla kolejnych punktów na płaszczyźnie, obliczamy przybliżenia zgodnie z podanym algorytmem i wzorami. Oś X oznacza wartości rzeczywiste, natomiast os Y wartości urojone. Przedstawiając kolejne przybliżenia na płaszczyźnie (lewy górny róg ma współrzędne -2.0 + -1.5i, dolny prawy róg ma współrzędne 1 + 1.2i) i oznaczając je różnymi kolorami otrzymujemy wynik - niezbyt urodziwy zbiór Phoenix Mandelbrot. Na obrazie poniżej kolory kolejnych przybliżeń wyznaczono zgodnie z modelem HSV. Dodatkowo jasność koloru uzależniono od wartości z jaką dany punkt wypadł z danego przybliżenia. Do kolorowania wyniku można też użyć odcieni szarości, bądź innego modelu barw.

Zbiór Phoenix Mandelbrot


Przykład w JavaScript:

Zaznaczając obszar uzyskasz jego powiększony obraz. Kliknięcie prawym klawiszem (bądź dotknięcie dwoma palcami na urządzeniach z ekranem dotykowym) spowoduje powtórne pokazanie całego zbioru.


Implementacje
AutorJęzyk
programowania
KomentarzOtwórzPobierzOcena
Tomasz LubińskiC#MS Visual Studio .net
.cs
.cs
***** / 1
Tomasz LubińskiC/C++Borland Builder 6
.cpp
.cpp
***** / 1
Tomasz LubińskiDelphi/PascalBorland Delphi 5
.pas
.pas
***** / 1
Tomasz LubińskiJavaScriptFirefox 3.0+, Safari 3.0+, Chrome 3.0+, Opera 9.5+, IE 9.0+
.js
.js
***** / 0
 
Dodaj własną implementację tego algorytmu
  • Zaloguj się na stronie
Plik:
Język
programowania:
Komentarz:
  By móc dodać implementacje zaloguj się na stronie

Poprawiony: 26 sierpnia 2012 21:13
Dodaj komentarz