Wyróżniamy dwie odmiany zbioru Phoenix: Phoenix Julia oraz Phoenix Mandelbrot (od nazw zbiorów, z których zostały wywiedzione). By zdefiniować zbiór Phoenix Julia, zdefiniujemy najpierw dla stałej stałej c i danego punktu p na płaszczyźnie zespolonej nieskończony ciąg liczb zespolonych z₀, z₁, z₂, ... o wartościach zdefiniowanych następująco:
z₀ = p
z_n+1 = z_n² + Re(c) + Im(c)*z_n-1

Zbiór Phoenix Julia definiujemy jako zbiór liczb zespolonych p takich, że zdefiniowany powyżej ciąg nie dąży do nieskończoności.

Fraktalem jest brzeg tego zbioru. W praktyce by narysować fraktale oblicza się kolejne przybliżenia zbioru, które oznacza się różnymi kolorami. I tak kolejne przybliżenia zdefiniujemy jako zbiór liczb zespolonych p takich, że:

• 1 przybliżenie: wszystkie punkty
• 2 przybliżenie: |z₁| < 2
• 3 przybliżenie: |z₁| < 2 oraz |z₂| < 2
• 4 przybliżenie: |z₁| < 2 oraz |z₂| < 2 oraz |z₃| < 2
• ...
• n-te przybliżenie: |z₁| < 2 oraz |z₂| < 2, ... |z_n-1| < 2

Zatem funkcję obliczającą z jakim maksymalnym przybliżeniem dany punkt p należy do zbioru Phoenix Julia możemy zdefiniować następująco (gdzie maxIter to maksymalne przybliżenie z jakim chcemy wyznaczać zbiór):

przyblizenie(p)
begin
  iter := 0;
  z_prev := 0;
  z := p;

  repeat
     iter := iter + 1;
     z_next = z^2 + c.r + c.i * z_prev;
     z_prev = z;
     z = z_next;
  until (|z| < 2) and (iter < maxIter)

  przyblizenie = iter;
end;


Przypomnijmy jeszcze działania na liczbach zespolonych jakie będziemy potrzebować podczas obliczeń. Liczba zespolona z składa się z części rzeczywistej z_r oraz częsci urojonej z_i, czyli z = z_r + i z_i.
Potęgowanie definiujemy następująco:
z² = (z_r² - z_i²) + i(2 z_r z_i)
Dodawanie definiujemy następująco:
a + b = (a_r + b_r) + i(a_i + b_i)
Mnożenie definiujemy następująco:
a * b = ( a_r*b_r - a_i*b_i ) + i( a_r*b_i + a_i*b_r )
Re(a) oznacza wartość cześci rzeczywistej liczby:
Re(a) = a.r
Im(a) oznacza wartość cześci urojonej liczby:
Im(a) = a.i
Moduł z liczby zespolonej definiujemy następująco:
,
dlatego też w praktyce warunek |z| < 2 zastępuje się równoważną nierównością (z_r² + z_i²) < 4. Pozbywamy się tutaj czasochłonnego obliczania pierwiastka kwadratowego.

Dla kolejnych punktów na płaszczyźnie, obliczamy przybliżenia zgodnie z podanym algorytmem i wzorami. Oś X oznacza wartości rzeczywiste, natomiast os Y wartości urojone. Przedstawiając kolejne przybliżenia na płaszczyźnie (lewy górny róg ma współrzędne -1.5 + -1.5i, dolny prawy róg ma współrzędne 1.5 + 1.5i) i oznaczając je różnymi kolorami otrzymujemy wynik - zbiór Phoenix typu Julia. Na obrazie poniżej kolory kolejnych przybliżeń wyznaczono zgodnie z modelem HSV. Dodatkowo jasność koloru uzależniono od wartości z jaką dany punkt wypadł z danego przybliżenia. Do kolorowania wyniku można też użyć odcieni szarości, bądź innego modelu barw. W przykładzie poniżej stała c = 0,56667 -0,5i i jest to wartość dla której otrzymany fraktal ma postać krzywej Phoenix opisanej przez Shigehiro Ushiki.



Dokonując przybliżenia wybranych obszarów zobaczymy charakterystyczne dla tego fraktala spirale:
(lewy górny róg ma współrzędne 0.10 + 0.28i, dolny prawy róg ma współrzędne 0.12 + 0.30i)



Przykład w JavaScript:
Zaznaczając obszar uzyskasz jego powiększony obraz. Kliknięcie prawym klawiszem (bądź dotknięcie dwoma palcami na urządzeniach z ekranem dotykowym) spowoduje powtórne pokazanie całego zbioru.

Część rzeczywista parameteru c: Część urojona parameteru c: