Krzywa Beziera to krzywa wielomianowa trzeciego stopnia, czyli taka która może być definiowana za pomocą trzech wielomianów (odpowiednio dla współrzędnych x, y i z) z pewnym parametrem t. Wielomiany trzeciego stopnia są używane najczęściej, ponieważ wielomiany niższego stopnia są zbyt mało elastyczne, jeśli chodzi o sterowanie kształtem krzywej. Natomiast wielomiany wyższego stopnia wprowadzają niepożądane oscylacje, a ponadto wymagają większej liczby obliczeń. Krzywe trzeciego stopnia są również krzywymi najniższego stopnia, które nie leżą w jednej płaszczyźnie w 3D. Współczynniki wielomianów są tak dobierane, żeby krzywa przebiegała wzdłuż pożądanej ścieżki. Krzywa ta została opracowana przez Pierre'a Beziera z myślą o wykorzystaniu przy projektowaniu samochodów w firmie Renault. Krzywa określona jest przez dwa punkty końcowe oraz dwa punkty pośrednie nie należące do krzywej. Krzywa Beziera interpoluje więc oba końcowe punkty i aproksymuje dwa pozostałe.
Punkty należące do krzywej Beziera obliczane są z równań:
P.x=(1-t)*(1-t)*(1-t)*P1.x + 3*(1-t)*(1-t)*t*P2.x + 3*(1-t)*t*t*P3.x + t*t*t*P4.x
P.y=(1-t)*(1-t)*(1-t)*P1.y + 3*(1-t)*(1-t)*t*P2.y + 3*(1-t)*t*t*P3.y + t*t*t*P4.y
P.z=(1-t)*(1-t)*(1-t)*P1.z + 3*(1-t)*(1-t)*t*P2.z + 3*(1-t)*t*t*P3.z + t*t*t*P4.z

gdzie
   P.x - wspolrzedna x punktu P
   t - parametr z przedziału [0;1] określający, w którym miejscu krzywej znajduje się szukany punkt. Przykładowo dla t=0 otrzymujemy punkt P1, a dla t=1 punkt P4.
Aby otrzymać obraz (współrzędne punktów) całej krzywej należy zmieniać wartość t z odpowiednio małym krokiem. Poniżej znajduje się rysunek krzywej Beziera dla t zwiększanym z krokiem około 0,1.
Przy łączeniu kilku segmentów krzywej Beziera należy dopilnować, aby zachowana była ciągłość w punkcie łączenia dwóch punktów końcowych.
Oznacza to, że wspólny punkt końcowy oraz dwa punkty pośrednie muszą być różne i współliniowe.

Komentarze